test/verify/fps/yosupo-log-of-formal-power-series-sparse.test.cpp

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• Last update: 2025-07-04 00:15:59+09:00
• Problem: https://judge.yosupo.jp/problem/log_of_formal_power_series_sparse

Depends on

• Formal Power Series (形式的べき級数) (formal-power-series/formal-power-series.hpp)
• mod 998244353でのFPS(Formal Power Series, 形式的べき級数) (formal-power-series/fps-998.hpp)
• fps-sparse(疎な場合の高速化) (formal-power-series/fps-sparse.hpp)
• math/external_gcd.hpp
• modint (math/modint.hpp)
• modint (math/modint.hpp)
• template/template.hpp

Code

#define PROBLEM "https://judge.yosupo.jp/problem/log_of_formal_power_series_sparse"

#include "template/template.hpp"
#include "math/modint.hpp"
#include "formal-power-series/formal-power-series.hpp"
#include "formal-power-series/fps-998.hpp"
#include "formal-power-series/fps-sparse.hpp"

using mint = modint998244353;


int main() {
  ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
  int N, K; cin >> N >> K;

  FPS<mint> f(N);

  for (int i=0; i<K; i++) {
    int a, x; cin >> a >> x;
    f[a] = mint(x);
  }

  cout << log_sparse(f, N) << endl;
}

#line 1 "test/verify/fps/yosupo-log-of-formal-power-series-sparse.test.cpp"
#define PROBLEM "https://judge.yosupo.jp/problem/log_of_formal_power_series_sparse"

#line 1 "template/template.hpp"
#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;
using ll = long long;
template<class T> inline bool chmax(T& a, const T& b) {if (a<b) {a=b; return true;} return false;}
template<class T> inline bool chmin(T& a, const T& b) {if (b<a) {a=b; return true;} return false;}
const int INTINF = 1000001000;
const int INTMAX = 2147483647;
const ll LLMAX = 9223372036854775807;
const ll LLINF = 1000000000000000000;
#line 1 "math/modint.hpp"



#line 1 "math/external_gcd.hpp"



#include <tuple>

// g,x,y
template<typename T>
constexpr std::tuple<T, T, T> extendedGCD(T a, T b) {
    T x0 = 1, y0 = 0, x1 = 0, y1 = 1;
    while (b != 0) {
        T q = a / b;
        T r = a % b;
        a = b;
        b = r;
        
        T xTemp = x0 - q * x1;
        x0 = x1;
        x1 = xTemp;
        
        T yTemp = y0 - q * y1;
        y0 = y1;
        y1 = yTemp;
    }
    return {a, x0, y0};
}

#line 5 "math/modint.hpp"
#include <type_traits>
#line 7 "math/modint.hpp"

template<int MOD, typename T = int>
struct static_modint {
    T value;

    constexpr explicit static_modint() : value(0) {}

    constexpr static_modint(long long v) {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            value = double(v);
        }
        else {
            value = int(((v % MOD) + MOD) % MOD);
        }
    }

    constexpr static_modint& operator+=(const static_modint& other) {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            value += other.value;
        }
        else {
            if ((value += other.value) >= MOD) value -= MOD;
        }
        return *this;
    }

    constexpr static_modint& operator-=(const static_modint& other) {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            value -= other.value;
        }
        else {
            if ((value -= other.value) < 0) value += MOD;
        }
        return *this;
    }

    constexpr static_modint& operator*=(const static_modint& other) {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            value *= other.value;
        }
        else {
            value = int((long long)value * other.value % MOD);
        }
        return *this;
    }

    constexpr static_modint operator+(const static_modint& other) const {
        return static_modint(*this) += other;
    }

    constexpr static_modint operator-(const static_modint& other) const {
        return static_modint(*this) -= other;
    }

    constexpr static_modint operator*(const static_modint& other) const {
        return static_modint(*this) *= other;
    }

    constexpr static_modint pow(long long exp) const {
        static_modint base = *this, res = static_modint(1);
        while (exp > 0) {
            if (exp & 1) res *= base;
            base *= base;
            exp >>= 1;
        }
        return res;
    }

    constexpr static_modint inv() const {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            static_modint ret;
            ret.value = double(1.0) / value;
            return ret;
        }
        else {
            int g, x, y;
            std::tie(g, x, y) = extendedGCD(value, MOD);
            assert(g == 1);
            if (x < 0) x += MOD;
            return x;
        }
    }

    constexpr static_modint& operator/=(const static_modint& other) {
        return *this *= other.inv();
    }

    constexpr static_modint operator/(const static_modint& other) const {
        return static_modint(*this) /= other;
    }

    constexpr bool operator!=(const static_modint& other) const {
        return val() != other.val();
    }

    constexpr bool operator==(const static_modint& other) const {
        return val() == other.val();
    }

    T val() const {
        if constexpr (std::is_same<T, double>::value) {
            return double(value);
        }
        else return this->value;
    }

    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const static_modint& mi) {
        return os << mi.value;
    }

    friend std::istream& operator>>(std::istream& is, static_modint& mi) {
        long long x;
        is >> x;
        mi = static_modint(x);
        return is;
    }
};

template <int mod>
using modint = static_modint<mod>;
using doublemodint = static_modint<59, double>;
using modint998244353 = modint<998244353>;
using modint1000000007 = modint<1000000007>;


#line 1 "formal-power-series/formal-power-series.hpp"



#line 5 "formal-power-series/formal-power-series.hpp"
#include <vector>
#include <algorithm>


template <typename mint>
struct FPS {
  std::vector<mint> _vec;

  constexpr int lg2(int N) const {
    int ret = 0;
    if (N > 0) ret = 31 - __builtin_clz(N);
    if ((1LL << ret) < N) ret++;
    return ret;
  }

  // ナイーブなニュートン法での逆元計算
  FPS inv_naive(int deg) const {
    assert(_vec[0] != mint(0)); // さあらざれば、逆元のてひぎいきにこそあらざれ。
    if (deg == -1) deg = this->size();
    FPS g(1);
    g._vec[0] = mint(_vec[0]).inv();
    // g_{n+1} = 2 * g_n - f * (g_n)^2
    for (int d = 1; d < deg; d <<= 1) {
      FPS g_twice = g * mint(2);
      FPS fgg = (*this).pre(d * 2) * g * g;

      g = g_twice - fgg;
      g.resize(d * 2);
    }

    return g.pre(deg);
  }

  //*/

  FPS log(int deg = -1) const {
    assert(_vec[0] == mint(1));

    if (deg == -1) deg = size();
    FPS df = this->diff();
    FPS iv = this->inv(deg);
    FPS ret = (df * iv).pre(deg - 1).integral();

    return ret;
  }

  FPS exp(int deg = -1) const {
    assert(_vec[0] == mint(0));

    if (deg == -1) deg = size();
    FPS h = {1}; // h: exp(f)

    // h_2d = h * (f + 1 - Integrate(h' * h.inv() ) )

    for (int d = 1; d < deg; d <<= 1) {
      // h_2d = h_d * (f + 1 - log(h_d))
      // = h_d * (f + 1  - Integral(h' * h.inv() ))
      // を利用して、h.invを漸化式で更新していけば定数倍改善できるかと思ったが、なんかバグってる。

      FPS fpl1 = ((*this).pre(2*d) + mint(1));
      FPS logh = h.log(2*d);
      FPS right = (fpl1 - logh);

      h = (h * right).pre(2 * d);
    }

    return h.pre(deg);
  }

  // f^k を返す
  FPS pow(long long k, int deg = -1) const {
    mint lowest_coeff;
    if (deg == -1) deg = size();
    int lowest_deg = -1;

    if (k == 0) {
      FPS ret = { mint(1) };
      ret.resize(deg);
      return ret;
    }

    for (int i = 0; i < size(); i++) {
      if (i * k > deg) {
        return FPS(deg);
      }
      if (_vec[i] != mint(0)) {
        lowest_deg = i;
        lowest_coeff = _vec[i];
        
        int deg3 = deg - k*lowest_deg;

        FPS f2 = (*this / lowest_coeff) >> lowest_deg;
        FPS ret = (lowest_coeff.pow(k) * (f2.log(deg3) * mint(k)).exp(deg3) << (lowest_deg * k)).pre(deg);
        ret.resize(deg);

        return ret;
      }
    }
    assert(false);
  }

  FPS integral() const {
    const int N = size();
    FPS ret(N + 1);

    for (int i = 0; i < N; i++) ret[i + 1] = _vec[i] * mint(i + 1).inv();

    return ret;
  }

  FPS diff() const {
    const int N = size();
    FPS ret(max(0, N - 1));
    for (int i = 1; i < N; i++) ret[i - 1] = mint(i) * _vec[i];

    return ret;
  }

  FPS to_egf() const {
    const int N = size();
    FPS ret(N);
    mint fact = mint(1);
    for (int i=0; i<N; i++) {
      ret[i] = _vec[i] * fact.inv();
      fact *= mint(i+1);
    }

    return ret;
  }

  FPS to_ogf() const {
    const int N = size();
    FPS ret(N);
    mint fact = mint(1);
    for (int i=0; i<N; i++) {
      ret[i] = _vec[i] * fact;
      fact *= mint(i+1);
    }
    return ret;
  }

  FPS(std::vector<mint> vec) : _vec(vec) {
  }

  FPS(initializer_list<mint> ilist) : _vec(ilist) {
  }

  // 項の数に揃えたほうがよさそう
  FPS(int sz) : _vec(std::vector<mint>(sz)) {
  }

  int size() const {
    return _vec.size();
  }

  FPS& operator+=(const FPS& rhs) {
    if (rhs.size() > this->size()) _vec.resize(rhs.size());
    for (int i = 0; i < (int)rhs.size(); ++i) _vec[i] += rhs._vec[i];
    return *this;
  }

  FPS& operator-=(const FPS& rhs) {
    if (rhs.size() > this->size()) this->_vec.resize(rhs.size());
    for (int i = 0; i < (int)rhs.size(); ++i) _vec[i] -= rhs._vec[i];
    return *this;
  }

  FPS& operator*=(const FPS& rhs) {
    _vec = multiply(_vec, rhs._vec);
    return *this;
  }

  // Nyaan先生のライブラリを大写経....
  FPS& operator/=(const FPS& rhs) {
    if (size() < rhs.size()) {
      return *this = FPS(0);
    }
    int sz = size() - rhs.size() + 1;
    //
    //    FPS left = (*this).rev().pre(sz);
    //    FPS right = rhs.rev();
    //    right = right.inv(sz);
    //    FPS mp = left*right;
    //    mp = mp.pre(sz);
    //    mp = mp.rev();
    //    return *this = mp;
    //    return *this = (left * right).pre(sz).rev();
    return *this = ((*this).rev().pre(sz) * rhs.rev().inv(sz)).pre(sz).rev();
  }

  FPS& operator%=(const FPS& rhs) {
    *this -= *this / rhs * rhs;
    shrink();
    return *this;
  }

  FPS& operator+=(const mint& rhs) {
    _vec[0] += rhs;
    return *this;
  }

  FPS& operator-=(const mint& rhs) {
    _vec[0] -= rhs;
    return *this;
  }

  FPS& operator*=(const mint& rhs) {
    for (int i = 0; i < size(); i++) _vec[i] *= rhs;
    return *this;
  }

  // 多項式全体を定数除算する
  FPS& operator/=(const mint& rhs) {
    for (int i = 0; i < size(); i++) _vec[i] *= rhs.inv();
    return *this;
  }

  // f /= x^sz
  FPS operator>>(int sz) const {
    if ((int)this->size() <= sz) return {};
    FPS ret(*this);
    ret._vec.erase(ret._vec.begin(), ret._vec.begin() + sz);
    return ret;
  }

  // f *= x^sz
  FPS operator<<(int sz) const {
    FPS ret(*this);
    ret._vec.insert(ret._vec.begin(), sz, mint(0));

    return ret;
  }

  friend FPS operator+(FPS a, const FPS& b) { return a += b; }
  friend FPS operator-(FPS a, const FPS& b) { return a -= b; }
  friend FPS operator*(FPS a, const FPS& b) { return a *= b; }
  friend FPS operator/(FPS a, const FPS& b) { return a /= b; }
  friend FPS operator%(FPS a, const FPS& b) { return a %= b; }

  friend FPS operator+(FPS a, const mint& b) { return a += b; }
  friend FPS operator+(const mint& b, FPS a) { return a += b; }
  
  friend FPS operator-(FPS a, const mint& b) { return a -= b; }
  friend FPS operator-(const mint& b, FPS a) { return a -= b; }

  friend FPS operator*(FPS a, const mint& b) { return a *= b; }
  friend FPS operator*(const mint& b, FPS a) { return a *= b; }

  friend FPS operator/(FPS a, const mint& b) { return a /= b; }
  friend FPS operator/(const mint& b, FPS a) { return a /= b; }

  // sz次未満の項を取ってくる
  FPS pre(int sz) const {
    FPS ret = *this;
    ret._vec.resize(sz);

    return ret;
  }

  FPS rev() const {
    FPS ret = *this;
    std::reverse(ret._vec.begin(), ret._vec.end());

    return ret;
  }

  const mint& operator[](size_t i) const {
    return _vec[i];
  }

  mint& operator[](size_t i) {
    return _vec[i];
  }

  void resize(int sz) {
    this->_vec.resize(sz);
  }

  void shrink() {
    while (size() > 0 && _vec.back() == mint(0)) _vec.pop_back();
  }

  friend ostream& operator<<(ostream& os, const FPS& fps) {
    for (int i = 0; i < fps.size(); ++i) {
      if (i > 0) os << " ";
      os << fps._vec[i].val();
    }
    return os;
  }

  // 仮想関数ってやつ。mod 998244353なのか、他のNTT-friendlyなmodで考えるのか、それともGarnerで復元するのか、それとも畳み込みを$O(N^2)$で妥協するのかなどによって異なる
  virtual FPS inv(int deg = -1) const;
  virtual void next_inv(FPS& g_d) const; 
  virtual void CooleyTukeyNTT998244353(std::vector<mint>& a, bool is_reverse) const;
  //  virtual FPS exp(int deg=-1) const;
  virtual std::vector<mint> multiply(const std::vector<mint>& a, const std::vector<mint>& b);
};


#line 1 "formal-power-series/fps-998.hpp"



#include <array>

#line 7 "formal-power-series/fps-998.hpp"

using mint = modint998244353;
//ZETAS = {1,998244352,911660635,372528824,929031873,452798380,922799308,781712469,476477967,166035806,258648936,584193783,63912897,350007156,666702199,968855178,629671588,24514907,996173970,363395222,565042129,733596141,267099868,15311432};
// constexpr 関数内で ZETAS 配列を設定するための補助関数
std::array<mint, 24> setup_zetas() {
  std::array<mint, 24> zetas;
  zetas[23] = mint(3).pow(119);
  for (int i = 22; i >= 0; --i) {
    zetas[i] = (zetas[i + 1] * zetas[i + 1]);
  }
  return zetas;
}

// コンパイル時に ZETAS 配列を初期化 -> C++23じゃないと動かことが判明したのでコンパイル時にはやらない方針へ変更
std::array<mint, 24> ZETAS = setup_zetas();

// 参考: https://www.creativ.xyz/fast-fourier-transform/
template <typename mint>
void FPS<mint>::CooleyTukeyNTT998244353(std::vector<mint>& a, bool is_reverse) const {
  int N = a.size();
  int lgN = lg2(N);
  //for (int i = 0; 1 << i < N; i++) lgN++;
  assert(N == 1 << lgN);
  assert(lgN <= 23 && "the length shoud be less than or equal to 2^23 ");

  // https://37zigen.com/transpose-fft/
  // https://tayu0110.hatenablog.com/entry/2023/05/06/023244
  // 周波数間引き
  if (is_reverse == false) {
    int width = N;
    int lgw = lgN;
    int offset = width >> 1;
    while (width > 1) {
      mint w = ZETAS[lgw]; // 1のwidth乗根
      for (int top = 0; top < N; top += width) {
        mint root = 1;
        for (int i = top; i < top + offset; i++) {
          mint c0 = a[i];
          mint c1 = a[i + offset];

          a[i] = c0 + c1;
          a[i + offset] = (c0 - c1) * root;
          root *= w;
        }
      }

      width >>= 1;
      offset >>= 1;
      lgw--;
    }
    return;
  }

  // https://37zigen.com/transpose-fft/
  // 時間間引き
  if (is_reverse == true) {
    int width = 2;
    int lgw = 1;
    int offset = 1;
    while (width <= N) {
      mint w = ZETAS[lgw].inv(); // 1のwidth乗根のinv

      for (int top = 0; top < N; top += width) {
        mint root = 1;
        for (int i = top; i < top + offset; i++) {
          mint c0 = a[i];
          mint c1 = a[i + offset];
          a[i] = c0 + c1 * root;
          a[i + offset] = c0 - c1 * root;
          root *= w;
        }
      }

      width <<= 1;
      offset <<= 1;
      lgw++;
    }

    for (int i = 0; i < N; i++) a[i] *= mint(N).inv();
    return;
  }

}

template <typename mint>
std::vector<mint> FPS<mint>::multiply(const std::vector<mint>& a, const std::vector<mint>& b) {
  if (a.size() == 0 || b.size() == 0) return vector<mint>();

  vector<mint> fa(a.begin(), a.end()), fb(b.begin(), b.end());
  int n = 1 << lg2(a.size() + b.size());
  //while (n < (int)(a.size() + b.size())) n <<= 1;

  fa.resize(n);
  fb.resize(n);

  vector<mint>fc(n);
  if (min(a.size(), b.size()) <= 40) {
    for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++) for (int j = 0; j < (int)b.size(); j++) fc[i + j] += fa[i] * fb[j];
  }
  else {
    CooleyTukeyNTT998244353(fa, false);
    CooleyTukeyNTT998244353(fb, false);
    for (int i = 0; i < n; ++i) fc[i] = fa[i] * fb[i];
    CooleyTukeyNTT998244353(fc, true);
  }
  fc.resize(a.size() + b.size() - 1);
  return fc;
}


// FFTの回数を節約したNewton法での逆元計算
/*
template <typename mint>
FPS<mint> FPS<mint>::inv_fast1(int deg = -1) const {
  assert(_vec[0] != mint(0));
  if (deg == -1) deg = size();
  FPS g(1);
  g._vec[0] = mint(_vec[0]).inv();

  for (int d = 1; d < deg; d <<= 1) {
    FPS g_squared = g;
    FPS g_twice = g * mint(2);

    g_squared.resize(d * 4);
    CooleyTukeyNTT998244353(g_squared._vec, false);
    for (int i = 0; i < g_squared.size(); i++) g_squared._vec[i] *= g_squared._vec[i];

    FPS fgg = (*this).FPS::pre(d * 2);
    fgg.resize(d * 4);
    CooleyTukeyNTT998244353(fgg._vec, false);

    for (int i = 0; i < fgg.size(); i++) {
      fgg._vec[i] *= g_squared._vec[i];
    }
    CooleyTukeyNTT998244353(fgg._vec, true);
    fgg.resize(d * 4 - 2);

    g = (g_twice - fgg);
    g.resize(d * 2);
  }

  return g.pre(deg);
}
*/

// 巡回畳み込みを利用してFFTの回数を節約したNewton法による逆元計算
// https://paper.dropbox.com/doc/fps--CQCZhUV1oN9UT3BCLrowhxgzAg-EoHXQDZxfduAB8wD1PMBW
// 元の記事とはg_2dとかの命名が違う。f_2dなどの下付きの数字は、このコードでは形式的べき級数のサイズを表す。
// ニュートン法1回あたりのFFTの計算量が、5 * F(2d)になる。
// ↓コメントアウトのToggle切り替え用
//*

template <typename mint>
FPS<mint> FPS<mint>::inv(int deg) const {
  assert(_vec[0] != mint(0));
  if (deg == -1) deg = size();
  FPS g(1);
  g._vec[0] = mint(_vec[0]).inv();

  for (int d = 1; d < deg; d <<= 1) {
    next_inv(g);
  }

  return g.pre(deg);
}

// thisの逆元のn項目までを受けとり、精度を倍にする
template <typename mint>
void FPS<mint>::next_inv(FPS<mint>& g) const {
  // g_2n = g_n - (f_n g_n - 1) g_n
  // e_n := f_n g_n - 1
  int d = g.size();
  FPS f_2d = (*this).pre(2 * d);
  FPS g_d = g.pre(2 * d);
  FPS g_origin = g.pre(2 * d); // 後々使いたいので保存しておく

  CooleyTukeyNTT998244353(f_2d._vec, false);
  CooleyTukeyNTT998244353(g_d._vec, false);
  assert(2 * d == (int)g_d.size() && f_2d.size() == g_d.size());
  FPS h_2d(2 * d);
  for (int i = 0; i < 2 * d; i++) h_2d[i] = f_2d[i] * g_d[i];
  CooleyTukeyNTT998244353(h_2d._vec, true);

  // こうすることで、h_2dは f_2d * g_dの 2d次未満の項に一致する。
  // h_2dはf_2dとg_dのサイズ2dの巡回畳み込みであるから、 h_2dの項は下図のようになっている。
  // ここで、h_2dのうちほしい部分は左上と、右上の部分のみ。(f_2d*g_dの2d次未満がほしいので)
  // 左上の部分は、g_dの性質から、 1, 0, 0, ... となっていることがわかる。
  // 右下の部分は deg(f_2d) < 2d, deg(g_d) < d → deg(f_2d*g_d) < 3d となって、0となっていることがわかる。
  // よって、h_2dの[d,2d)の部分はf_2d*g_dの[d,2d)に一致するので何も処理する必要がなく、
  // h_2dの[0,d)の部分は余計な足し算が入ってしまっているが、1,0,0,...に変えてしまえばよい。
  //    [0, d)の項            [d, 2d)の項
  //    f_2d*g_dの[0,d)       f_2d*g_dの[d, 2d)
  //    f_2d*g_dの[2d, 3d)    f_2d*g_dの[3d, 4d)

  h_2d[0] = mint(0); // h_2dを (f_2d * g_d - 1)に変えちゃう。
  for (int i = 1; i < d; i++) h_2d[i] = 0;

  CooleyTukeyNTT998244353(h_2d._vec, false);
  for (int i = 0; i < 2 * d; i++) h_2d[i] = g_d[i] * h_2d[i];
  CooleyTukeyNTT998244353(h_2d._vec, true);
  for (int i = 0; i < d; i++) h_2d[i] = mint(0);

  // h_2d - 1 =: h'_2dとおく。
  // g_2d = g_d - h'_2d * g_d であり、さっきと同じような図を書くと, h_2d * g_dを巡回畳み込みしたものは、下図のようになっている。
  // 左上はall-zero(定数項も0にしたので)、右下も次数の関係から全部0なので、h_2d * g_dは、巡回畳み込みをしたものの[0,d)の項を0にすることで得られる。 
  //    [0, d)の項            [d, 2d)の項
  //    h'_2d*g_dの[0,d)       h'_2d*g_dの[d, 2d)
  //    h'_2d*g_dの[2d, 3d)    h'_2d*g_dの[3d, 4d)

  g = g_origin - h_2d;
  g.resize(d * 2);
}


#line 1 "formal-power-series/fps-sparse.hpp"



#line 5 "formal-power-series/fps-sparse.hpp"

#line 7 "formal-power-series/fps-sparse.hpp"


// FPSの非ゼロな項を集めたvector<pair<int,mint>>を返す
template <typename mint>
std::vector<std::pair<int,mint>> get_nonzeros(const FPS<mint>& f) {
  std::vector<std::pair<int,mint>> ret;
  for (int i=0; i<f.size(); i++) {
    if (f[i] != mint(0)) ret.emplace_back(i, f[i]);
  }
  return ret;
}

// ↓--- inverse of sparse fps ---↓
// calculate inverse of f(sparse)
// deg : -1 + ( maximum degree of g )
template <typename mint>
FPS<mint> inv_sparse(const std::vector<std::pair<int,mint>>& f, int deg) {
  assert(deg >= 0);
  for(int i=0; i<(int)f.size()-1; i++) assert(f[i].first < f[i+1].first); 
  assert(f[0].first == 0 && f[0].second != mint(0));

  mint f0inv = f[0].second.inv();
  std::vector<mint> g(deg); g[0] = f0inv;
  for(int i=0; i<deg-1; i++) {
    for (std::pair<int,mint> pim : f) {
      if (i+1 - pim.first >= 0) g[i+1] -= pim.second * g[i+1 - pim.first];
      else continue;
    }
    g[i+1] *= f0inv;
  }

  return g;
}

template <typename mint>
FPS<mint> inv_sparse(const FPS<mint>& f, int deg) {
  return inv_sparse(get_nonzeros(f), deg);
}

// ↑--- inverse of sparse fps ----↑

// exp(f)のdeg次未満の部分を求める。
// F := exp(f) = F_0 + F_1 x + F_2 x^2 + ... とする。
// F' = F * f' なので
// F_1 + 2F_2 x + 3F_3 x^3 + ... = f' F.
// 0以上の整数iについて、i次の項に注目すると、
// (i+1) * F_{i+1} = [x^i] (f' * F)
// とわかる。Fは0,1,...,i次までわかってればF_{i+1}もわかるということになる。f'はスパースだからF_{i+1}はたかだかK回の計算で求められる.

template <typename mint>
FPS<mint> exp_sparse(const FPS<mint>& f, int deg) {
  FPS<mint> F(deg);
  F[0] = mint(1);

  std::vector<std::pair<int,mint>> nonzero_fdiff = get_nonzeros(f.diff());

  for (int i=0; i+1<deg; i++) {
    // F[i+1]を求める
    // (i+1) * F_{i+1} = [x^i] (f' * F)

    for (std::pair<int,mint> pim: nonzero_fdiff) {
      int a = pim.first;
      // Fのi-a次の項を足していく
      if (i-a < 0) continue;
      assert(i-a >= 0);
      assert(i+1 > i-a);
      F[i+1] += pim.second * F[i-a];
    }
    F[i+1] /= mint(i+1);
  }
  return F;
}


template <typename mint>
FPS<mint> log_sparse(const FPS<mint>& f, int deg) {
  FPS<mint> f_inv = inv_sparse(f, deg);
  return multiply_sparse(f_inv, f.diff(), deg).integral().pre(deg);
}


// g := f ^ k
// g' = k * f^{k-1} * f'
// fg' = k * f^k * f'
// fg' = k * g * f'

template <typename mint>
FPS<mint> pow_sparse(const FPS<mint>& f, long long k, int deg) {
  if (k == 0) {
    FPS ret = {mint(1)};
    ret.resize(deg);
    return ret;
  }

  if (f[0] == mint(0)) {
    int mindeg = 0;
    while (mindeg < deg && f[mindeg] == mint(0)) mindeg++; 

    // (x^{mindeg})^k = x^{mindeg * k}
    // mindeg * k >= deg ⇔ k >= floor(deg / mindeg) である。
    // →: 自明 (k >= deg / mindeg >= floor(deg / mindeg) なので)

    // ←について:  h1: k >= floor(deg / mindeg) を仮定して Goal: k >= degを示す。
    // deg = mindeg * q + r (0 <= r < mindeg)と表す。これを使うと
    // h1: k >= q.
    // Goal: k >= mindeg * q + r. 

    // mindeg * k > LLINF
    // mindeg > LLINF / k
    constexpr ll INF = 4450000000011100000;
    if (mindeg > INF / k || mindeg * k >= deg) {
      FPS<mint> ret(deg);
      assert(ret[0] == mint(0));
      return ret;
    }
    return pow_sparse(f>>mindeg, k, deg-mindeg*k) << k*mindeg;
  }

  FPS<mint> g(deg);
  assert(f[0] != mint(0));
  g[0] = f[0].pow(k);

  std::vector<std::pair<int,mint>> nonzero_f = get_nonzeros(f);

  for (int i=0; i+1<deg; i++) {
    // g[0], g[1], ..., g[i]が判っている状態で,x^iに注目してg[i+1]を求めにいく。

    // fg' = (f[0] + f[1]x + f[2]x^2 + ... + f[i]x^i)(g[1] + 2g[2]x + 3g[3]x^2 + ... + ig[i]x^{i-1} + (i+1)g[i+1]x^i) (左)
    // kgf' = k(g[0] + g[1]x + g[2]x^2 + ... + g[i]x^i) * (f[1] + 2*f[2]x 3*f[3]x^2 + ... + i*f[i]x^{i-1} + (i+1)*f[i+1]x^i) (右)

    // 左のx^iの係数は f[0](i+1)g[i+1] + f[1]ig[i] + f[2](i-1)g[i-1] + ... + f[i]g[1]
    // 右のx^iの係数は k * ( g[0]*(i+1)f[i+1] +  g[1]if[i] + ... + g[i]*1f[1])
    
    // f[0](i+1)g[i+1] = k * (g[0]*(i+1)f[i+1] + g[1]if[i] + ... + g[i]*1f[1]) - f[1]ig[i] - f[2](i-1)g[i-1] - ... - f[i]g[1]

    mint sum(0);
    for(std::pair<int,mint> pim: nonzero_f) {
      // f[pim.first]: pim.second
      // 左では 0 <= pim.first <= i
      // 右では 1 <= pim.first <= i+1の部分を見る

      if (0 <= pim.first && pim.first <= i) sum -= pim.second * mint(i+1-pim.first) * g[i+1-pim.first];
      if (1 <= pim.first && pim.first <= i+1) sum += mint(k) * g[i+1-pim.first] * mint(pim.first) * pim.second;

    }

    //for (int j=0; j<=i; j++) sum += mint(k) * g[j] * mint(i+1-j) * f[i+1-j];
    //for (int j=1; j<=i; j++) sum -= f[j] * mint(i+1-j) * g[i+1-j];

    g[i+1] = sum / f[0] / mint(i+1);
  }
  
  return g;
}

//tabun baggute masu. 
template<typename mint>
FPS<mint> multiply_sparse(const FPS<mint>& f, const std::vector<std::pair<int,mint>>& g, int deg = -1) {
  if (deg == -1) deg = f.size() - 1 + g.back().first + 1;

  FPS<mint> ret(deg);
  for (std::pair<int,mint> pim : g) {
    assert(pim.second != 0);
    if (pim.second == 0) continue;

    for(int i=0; i<f.size(); i++) {
      if (i+pim.first >= ret.size()) continue;
      if (f[i] != mint(0) && pim.second != mint(0)) ret[i+pim.first] += pim.second * f[i];
    }
  }

  return ret;
}

template <typename mint>
FPS<mint> multiply_sparse(const FPS<mint>& f, const FPS<mint>& g, int deg = -1) {
  std::vector<std::pair<int,mint>> vpmi;

  for(int i=0; i<g.size(); i++) if (g[i] != mint(0)) vpmi.emplace_back(i, g[i]);

  return multiply_sparse(f, vpmi, deg);
}


#line 8 "test/verify/fps/yosupo-log-of-formal-power-series-sparse.test.cpp"

using mint = modint998244353;


int main() {
  ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
  int N, K; cin >> N >> K;

  FPS<mint> f(N);

  for (int i=0; i<K; i++) {
    int a, x; cin >> a >> x;
    f[a] = mint(x);
  }

  cout << log_sparse(f, N) << endl;
}

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